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“问题引领,自主建构”模式下的“直线与平面垂直”

作者:华书春    文章来源:本站原创    点击数:1218    更新时间:2016-4-8

普通高中数学课程标准(实验)指出:教材应注意创设情景,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.然而新课改以来,一些如“轻结论、重过程”、“以教师中心”等惯性现象依然沿袭,导致学生在学习的时候缺乏独立思考和自主探究、主动交流的机会,学生的数学学习能力没有得到有效的培养,创新意思更是空谈.近年来,笔者所在的地区教研室围绕如何实现更有效的课堂在区内学校反复实践打磨,提出了“问题引领,自主建构”数学教学模式,是一种探索,更是一份沉甸甸的责任.笔者选择了 “直线与平面垂直”第一节课作素材,分析一些有益的经验,提出“问题引领,自主建构”模式的一些教学建议供大家探讨.  

1  教材与学情分析  

本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时又是直线和平面所成的角等内容的基础,因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.  

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开,而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开,通过该内容的学习,进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力,发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。同时体验和感悟转化的数学思想。  

2  目标分析  

1.通过教学活动,了解、感受线面垂直的概念,探究判定直线与平面垂直的方法并能简单应用;  

2.通过直观感知,操作确认,归纳线面垂直的判定定理和性质定理,并能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题;  

3.在探索直线与平面垂直判定和性质定理的过程中发展合情推理能力,同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。  

3  重点与难点  

教学重点:抽象概括直线与平面垂直的定义,操作确认直线与平面垂直的判定和性质定理.  

教学难点:操作确认直线与平面垂直的判定和性质定理及其初步应用.  

4  教学方法  

通过问题目标的驱动,引导学生思考并设计解决问题的思路、步骤和方法,使学习循序渐进、由浅入深,积极地参与到猜想、探究的学习中;  

5  教学过程  

5.1   创设情境, 推一扇大门  

问题一:直线和平面有哪几种位置关系;  

问题二:研究了直线和平面平行哪些内容?  

问题三:直线和平面相交中最特殊的一种情况是什么?  

设计意图:以连续三个问题和学生互动,引导学生参与思考,然后让学生动手操作,去感知发现线面垂直是相交的一种特殊情况,得出线面垂直的初步构想,同时追问为什么命名为“垂直”?我们已经掌握了哪些垂直关系?  

点评:通过对已有知识追问,为未来定义的建构埋下伏笔.  

问题四:为什么先研究线面垂直?  

点评:体现了研究新问题时常用的由特殊到一般由简单到复杂的思想.  

问题五:为什么要研究线面垂直?  

设计意图:让学生举出生活中的实例和几何体中的实例.  

点评:感受线面垂直的重要性.  

实施后评价:“问题引领,自主建构”的教学模式中,创设情境通常可以有以下几个途径:(1)以数学故事和数学史实创设趣味型问题;(2)以数学知识的产生、发展过程来创设知识性问题情境;(3)以数学知识的现实价值创设应用型问题情境;(4)以“数学悬念”创设“悬念型”问题情境;(5)以数学活动和数学实验创设活动型问题情境;(6)以计算机为工具创设动画型问题情境.该设计以数学知识的产生、发展过程来创设知识性问题情境,并且重视了知识的最近发展区原则,注重了学生的思维,增加了课堂的思维容量;同时又以问题串的形式复习线面关系,通过不断追问、反问,层层递进,引发了学生的认知冲突,给学生留有了探索空间,调动了大多数学生的思维,同时也勾勒出了本节课的研究线路.本节课的情境创设很好的体现了该模式的特点.  

5.2  启发引导,造一方池塘  

问题六:你认为应该研究直线和平面垂直的哪些内容?  

点评:培养了学生的模仿类比能力.  

问题七:圆锥的轴与底面的任意一条线是什么关系?  

设计意图:通过几何画板动态展示圆锥的定义,让学生观察思考,探究发现.教师此处追问了三个小问题:(1)圆锥的底面是如何形成的?(2)圆锥的轴与底面是什么关系?为什么?(3)圆锥的轴与底面不过圆心O的直线m是什么关系?问什么?  

点评:问题引领,逐层递进,实践与思考并重.  

实施后评价:教师在启发引导部分继续通过二个主问题,三个支问题,让学生展开积极的思维活动,很好的体现出了教师自己的启发者、合作者、引导者和促进者的作用.“问题引领,自主建构”模式要求教师要具备强烈的问题意识和较强的提出问题的能力,还要懂得多种措施的引入,以促进学生的思维活动的开展,此处几何画板的动态展示起到了锦上添花的作用.尤为可贵的是教师始终给学生以主动,引导学生边学边思,想方设法让学生经历问题的发展和生成过程,重视了学生数学思维的培养.  

5.3 意义建构,敲一块燧石  

问题八:你能给直线与平面垂直下定义吗?  

设计意图:由于前面七个问题的铺垫,定义的生成就显得水到渠成.此处培养了学生的概括能力.  

定义生成:如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,则称和平面互相垂直.记作.  

记为:  

词语辨析:“任意”等价于“所有”吗?等价于“无数”吗  

反例辨析:圆锥的母线垂直于底面吗?  

设计意图:词语辨析和反例辨析让学生加深了对定义的理解.  

例1:求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.  

教学过程实录  

教师让学生在座位上完成,教师走动察看,适当点拨个别同学,最后通过实物展台展示一位同学的证明过程.该学生的证明过程如下:  

证明:  

师:说说你的思路!  

生:先在平面内作一条直线.  

师:是吧?写了吗?  

生(惭愧):哦!没写!  

师:然后呢?  

生:然后他是任意一条平面内的直线,直线,所以得到直线垂直于平面内的任意一条直线.然后//,所以能得到垂直于任意一条直线,然后任意直线属于,所以.(此处,学生表述有误,应为包含于)  

师:恩!你觉得在解题过程中最大的体会是什么?不停地在用什么啊?  

生:垂直!  

师:恩!垂直!也就是说不停的在用线线垂直和线面垂直的转化.好!你先请坐!  

师总结:好,刚才第一个问题,是我发现的,作了一条直线,但是没有进行书写.那么有没有其他同学再来发表自己的看法.(停顿)这个书写过程中,还有什么要完善的?谁发现的就站起来!主动一点,没关系,不要低声在下面说,来跟我们一起分享.这位女生,你说说看?  

生:我觉得应该不用写任意.  

师:不用写任意,为什么?  

生:在随意画直线的时候,在画直线的时候就已经表示出来了.  

师:哦!在这边我们要强调一下哦.只要在用条件时我们要保证他的充分性,一定要保证书写的完整,这任意还是需要的.(强调)(停顿)好,我们来看这位同学的.这就是刚才说不要写任意的那位女生的,大家来观察,她没有写任意,但和刚才的过程比较,她多了什么啊?  

(实物展台展示)   

已知://,证明:.  

(下和第一位女生基本相同)  

生(异口同声):已知求证.  

师:恩!你们觉得必要吗?大家看,原来的题目当中,有没有直线、直线和平面,所以文字语言叙述的命题,为了证明时表述的方便,我们首先要用符号语言将他表示出来,并画图辅以证明,这样才能够表述准确.  

师(总结,同时幻灯片展示):好,通过这道题,我们一起来回顾一下.在这道题当中,已知线面垂直,根据定义能得到(停顿,等学生回答)线线垂直.那么要求证什么呢?线面垂直.可以由什么得到?(停顿,学生集体回答:线线垂直)这样我们就用定义将这道题得到了圆满的解决.好,那么在实际应用中,工人要想用定义验证旗杆是不是和地面垂直,那他就得来验证旗杆与底面所有直线垂直,这显然很难操作.那有没有更简洁的方法呢?(提出问题九,引出判定定理,并由实际操作的困难,让学生认识到判定定理产生的必要性)  

问题九:判定直线与平面垂直有没有简便的方法?  

设计意图:让所有学生参与活动,不同层面的学生均有所获,体现了分层教学的思想.  

判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.   

记为:  

实施后评价:整个课堂如同游戈着“快乐”之鱼的“一方池塘”,通过实物展示,提问和追问,进一步暴露学生思维中的漏洞,对学生既有温馨的提醒,又有恰到好处的肯定和总结,主导作用得到了很好的发挥.“问题引领,自主建构”教学模式要求教师要成为学生建构意义的帮助者,同时为了使得建构更有效,教师应在可能的条件下组织协作学习(开展讨论交流),并对协作学习过程进行指导.建构过程中要有适当的问题提出,要和学生在互动中将问题进一步深化,以加深学生对所学内容的理解.  

5.4   操练拓展,点一束火焰  

问题十:怎么检验旗杆和地面垂直呢?  

设计意图:前后呼应,解决问题.  

例2:在长方体中,求证:侧棱平面.  

设计意图:操练矫正.  

问题十一:已知: ,证明: //.  

实施后评价:证明过程中,学生都知道在平面内找条线,但是在随后的证明中,学生找不到正确的途径推出线线平行,教师此时没有急于求成,而是给学生时间思考错误原因,提出“两条线在一个平面内吗?”,“能不能让他们在一个平面内呢?”,“不能实现在一个平面内,我们还有什么途径证明呢?”,最终引导学生联系到反证法.  

此处内容是本节课的难点,反证法的出现比较突兀,教师让学生亲身经历客服困难,循循善诱,突破了该难点,也做到了“授之以渔”,而不是“授之以鱼”.  

5.5   归纳反思,收一地金黄  

问题十二:通过本节课的学习,你有哪些收获?学了哪些知识?掌握了哪些方法?体会了哪些思想?  

点评:“问题引领,自主建构”的教学模式需要教师重视学生反思习惯的培养,让学生用自己的语言谈心得体会,既要有知识的总结,又要有思想方法的总结,多层面揭示问题本质,充分贯彻落实三维教学目标.  

6  后记  

教师在本节课实施上,由于充分尊重了学生的主动性,在意义建构部分多花了点时间,造成了有些“前松后紧”的现象,在归纳反思部分实施时没有足够的时间让学生阐述充分,但瑕不掩瑜.  

6.1  一处点睛之笔  

提出反证法之后,教师向学生介绍反证法的流程,但并没有按照反证法原封不动的讲解,主要原因源于学生在假设不平行以后,直接说他们相交或异面,教师没有生拉硬拽的将学生拉回到课本上的思路,而是在黑板上直接画图,提出如果相交,面内的那条线如何寻找;如果异面,又该怎样处理异面直线的位置关系.学生知道在直线上取点作平行线之后,又有了一些区别,有的学生说直接取与平面的交点,有的说直接在上取点,教师分别都予以了阐述.这当中的课堂形式相对复杂,教师从学生的的思维中,努力寻找出学生思维的闪光点,予以肯定.  

6.2  一些教学建议  

一堂好课需要教师始终关注学生的发展,遇到突发情况及时变通因势引导,教学行为才会合理有效. “问题引领,自主建构”模式最重要的特点是强调问题为过程的载体,强调突出学生的主体地位和教师的主导作用,强调了学生的自主构建知识.一节“问题引领,自主建构”的课堂是要把独立思考、反思质疑、建构内化贯穿始终.教师在课堂上最大的作用是搭建支架,引领学生发挥个人认知与群体交流的能动性,在师生、生生的互动、碰撞中,发现规律,掌握规律. 课堂教学中笔者提出以下六点供大家探讨:情境设计要立足学情;教学过程要以问题为主线;意义建构要尽量自然生成;例题、堂练要层次化设计;问题解决要有化归思路;教学方式要开放互动.  

   

参考文献:    

[1]尤善培,许兴震.“问题引领,自主建构”教学模式解析 [J].教育研究与评论,2013(6)  

   

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