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映日荷花别样红

作者:刘纯刚    文章来源:本站原创    点击数:1206    更新时间:2016-5-17

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”的信息转换,相互渗透,不仅使解题简捷明快,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”,它不仅作为一种解题方法,还是一种重要的数学思想。我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述:“数与形本是相依,焉能分作两边飞,数缺形少直觉, 形少数难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休,切莫忘, 几何代数统一体,永远联系切莫分离。” 寥寥数语,把“数形结合”之妙说得淋漓尽致。高考题中常常会出现距离的最值问题,往往涉及了基本不等式、导数、一元二次函数等求最值的基本知识,以及数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法,成为每年高考及模拟考试的必考内容之一。对于这一类问题,往往通过数形结合能很快地理清思路,顺利解决问题。  

一、以形映数、理清思路。  

例1、(2015年江苏高考题第12题)平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为______。  

解析:因为直线平行于渐近线,所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间的距离,因此c的最大值为直线与渐近线之间的距离  

   

  

反思:作出函数的图像能很直观的感受到问题的思路。“形”可使问题更直观,解题过程更顺畅。  

二、以数辅形、细致入微。  

 例2、在平面直角坐标系中,设动点A,P是函数图象上一动点,则点P,A之间的最短距离为____。  

 解法1(形):由题意知,点A是直线上一动点,  

设点P  

  

点P,A之间的距离的最小值为点P(1,1)到直线的距离。  

             

解法2(数):由题意知,点A是直线上一动点,  

设点P  

点P,A之间的距离的最小值为点P到直线的距离的最小值,  

   

当且仅当  

反思:通过作出函数的图像,可以直观地感受问题的思路,然后通过数的运  

算,有效地解决问题。  

      

数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因  

素,数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线,使数学在实践中的应用更加  

广泛和深远:一方面,借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系  

形象化、简单化,给人以直观感;另一方面,将图形问题转化为代数问题,  

可以获得准确的结论。  

    数与形的关系正如南宋诗人杨万里的《晓出净慈寺送林子方》中的诗句  

毕竟西湖六月中风光不与四时同接天莲叶无穷碧映日荷花别样红。”  

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